arctanx的导数是什么 arctanx导数的推导 arctanx的导数是什么反函数求导公式

  arctanx的导数是什么 arctanx导数的推导 arctanx的导数是什么反函数求导公式。反函数与原函数关于y=x的对称点的导数互为倒数。设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数(即原函数，前提要f'(x)存在且不为0)。

  arctanx求导方法

  设x=tany

  tany'=secx^y

  arctanx'=1/(tany)'=1/sec^y

  sec^y=1+tan^y=1+x^2

  所以(arctanx)'=1/(1+x^2)

  反函数的导数与原函数的导数关系

  设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数(即原函数，前提要f'(x)存在且不为0)

  反函数求导法则

  如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且

  [f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

  [f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

  这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

  例：设x=siny，y∈[−π2,π2]x=sin⁡y，y∈[−π2,π2]为直接导数，则y=arcsinxy=arcsin⁡x是它的反函数，求反函数的导数.

  解：函数x=sinyx=sin⁡y在区间内单调可导，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cos⁡y≠0

  因此，由公式得

  (arcsinx)′=1(siny)′

  (arcsin⁡x)′=1(sin⁡y)′

  =1cosy=11−sin2y−−−−−−−−√=11−x2−−−−−√

  =1cos⁡y=11−sin2⁡y=11−x2